PROBABILIDAD

Clase 1: Propiedades Elementales y Cálculo

Bioestadística Aplicada | Nivel: Intermedio

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ESTRUCTURA

Plan de Clase

⏱ Duración Total: 2 horas

Enfoque en aplicaciones clínicas y biomédicas

📖 Momento 1

30 minutos

Explicación teórica: conceptos fundamentales de probabilidad

✏️ Momento 2

60 minutos

Resolución de problemas en equipos

💬 Momento 3

30 minutos

Presentación de soluciones y discusión

Objetivos de Aprendizaje

✓ Al finalizar, podrás:

Definir experimento, espacio muestral y evento
Aplicar las propiedades elementales de la probabilidad
Calcular probabilidades de eventos simples y compuestos
Distinguir eventos mutuamente excluyentes e independientes
Aplicar reglas de adición y multiplicación
Calcular probabilidades condicionales
Resolver problemas clínicos usando probabilidad total

CONCEPTOS BÁSICOS

Definiciones Fundamentales

🎲 Experimento

Proceso de observación o medición que produce un resultado. El resultado no se puede predecir con certeza antes de realizar el experimento.

Ejemplos clínicos:
• Aplicar una prueba diagnóstica a un paciente
• Administrar un tratamiento y observar la respuesta
• Medir la presión arterial de un paciente
• Contar células en una muestra de sangre

📊 Espacio Muestral (E)

Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Ejemplos:
• Prueba diagnóstica: E = {Positivo, Negativo}
• Grupo sanguíneo: E = {A, B, AB, O}
• Lanzar un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 resultados

🎯 Evento (A, B, C, ...)

Subconjunto del espacio muestral. Son elementos que cumplen con alguna condición específica.

Ejemplos:
• Evento A: "Prueba COVID positiva"
• Evento B: "Paciente con hipertensión"
• Evento C: "Sacar un número par" = {2, 4, 6}

PROBABILIDAD

Concepto y Propiedades

📌 Definición de Probabilidad

La probabilidad de un evento es un número real no negativo y no superior a 1 que mide la posibilidad de que suceda dicho evento.

P(A) = Nº de casos favorables al evento A / Nº de casos totales

Propiedades Fundamentales

Propiedad 1

P(A) ≥ 0

La probabilidad nunca es negativa

Propiedad 2

P(E) = 1

La probabilidad del espacio muestral completo es 1

Propiedad 3

0 ≤ P(A) ≤ 1

Toda probabilidad está entre 0 y 1

Propiedad 4

P(A) + P(A^c) = 1

Probabilidad del complemento
Donde A^c = "no A"

⚕ Ejemplo Clínico

En un hospital, de 200 pacientes ingresados, 50 tienen diabetes.

P(Diabetes) = 50/200 = 0.25 = 25%
P(No diabetes) = 150/200 = 0.75 = 75%

Verificación: 0.25 + 0.75 = 1 ✓

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Definición y Ejemplos

🔀 Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si NO pueden ocurrir simultáneamente. La ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro.

✓ SON Mutuamente Excluyentes

Ejemplo 1: Resultado de una prueba

A = Positivo
B = Negativo

Una prueba NO puede ser positiva Y negativa al mismo tiempo

Ejemplo 2: Grupo sanguíneo

A = Tipo A
B = Tipo B

Un paciente no puede tener ambos grupos simultáneamente

✗ NO Son Mutuamente Excluyentes

Ejemplo 1: Condiciones médicas

A = Tener diabetes
B = Tener hipertensión

Un paciente PUEDE tener ambas condiciones (comorbilidad)

Ejemplo 2: Características demográficas

A = Ser mujer
B = Tener > 65 años

Una persona puede ser mujer Y tener >65 años

💡 Implicación Matemática

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

P(A ∩ B) = 0

La probabilidad de que ocurran ambos es cero

EVENTOS INDEPENDIENTES

Definición y Ejemplos

🔓 Eventos Independientes

Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno NO tiene ningún efecto en la probabilidad de que ocurra el otro.

✓ Eventos Independientes

Ejemplo 1: Pruebas a diferentes pacientes

A = Paciente 1 es positivo
B = Paciente 2 es positivo

El resultado de un paciente no afecta al otro (asumiendo no contagio)

Ejemplo 2: Lanzamientos repetidos

A = Sacar 5 en 1er dado
B = Sacar 3 en 2do dado

Los dados no se influencian entre sí

✗ Eventos Dependientes

Ejemplo 1: Muestreo sin reemplazo

A = 1ra carta es As
B = 2da carta es As

Si salió un As primero, quedan menos ases disponibles

Ejemplo 2: Síntomas relacionados

A = Tener fiebre
B = Tener infección

La presencia de infección aumenta probabilidad de fiebre

📐 Condición Matemática

Si A y B son independientes, entonces:

P(A | B) = P(A)

La probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A

REGLAS DE ADICIÓN

Probabilidad de "A o B"

➕ Reglas de Adición

Se usan para calcular la probabilidad de que ocurra un evento U otro (o ambos).

Caso 1: Eventos Mutuamente Excluyentes

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

⚕ Ejemplo: Grupo Sanguíneo

En una población:
P(Tipo A) = 0.40
P(Tipo B) = 0.11

¿Cuál es la probabilidad de que un paciente aleatorio sea tipo A o tipo B?

P(A ∪ B) = 0.40 + 0.11 = 0.51 = 51%

Caso 2: Eventos NO Mutuamente Excluyentes

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

⚕ Ejemplo: Comorbilidades

P(Diabetes) = 0.25
P(Hipertensión) = 0.30
P(Ambas) = 0.10

¿Probabilidad de tener diabetes O hipertensión (o ambas)?

P(D ∪ H) = 0.25 + 0.30 - 0.10 = 0.45 = 45%

Caso 3: Eventos Independientes

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) · P(B)

REGLAS DE MULTIPLICACIÓN

Probabilidad de "A y B"

✖ Reglas de Multiplicación

Se usan para calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos simultáneamente o en secuencia.

Caso 1: Eventos Independientes

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

⚕ Ejemplo: Pruebas a Dos Pacientes

Una enfermedad tiene prevalencia del 5% en la población.

P(Paciente 1 enfermo) = 0.05
P(Paciente 2 enfermo) = 0.05

¿Probabilidad de que AMBOS pacientes estén enfermos?

P(ambos enfermos) = 0.05 × 0.05 = 0.0025 = 0.25%

Caso 2: Eventos NO Excluyentes (General)

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

💡 Nota Importante

Para eventos dependientes, usar probabilidad condicional:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

P(A | B) - "A dado que B"

🔗 Probabilidad Condicional

Probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que ya ocurrió otro evento B.

Se denota: P(A|B) y se lee "probabilidad de A dado B"

Fórmulas

Eventos Dependientes

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Donde P(B) > 0

Eventos Independientes

P(A|B) = P(A)

El conocimiento de B no afecta a A

⚕ Ejemplo Clínico: Prueba Diagnóstica

De 1000 pacientes evaluados:

	Enfermo	Sano	Total
Test +	80	50	130
Test -	20	850	870
Total	100	900	1000

Pregunta: Si un paciente dio positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enfermo?

P(Enfermo | Test+) = P(Enfermo ∩ Test+) / P(Test+) = 80/130 = 0.615 = 61.5%

PROBABILIDAD TOTAL

Teorema y Diagrama de Árbol

🌳 Probabilidad Total

Si un evento A puede ocurrir de n maneras diferentes mutuamente excluyentes (particiones B₁, B₂, ..., Bₙ), entonces:

P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + ... + P(A|Bₙ)·P(Bₙ)

⚕ Ejemplo: Laboratorios Clínicos

Un hospital usa 3 laboratorios para análisis de sangre:

Lab A: 50% de muestras, 2% error
Lab B: 30% de muestras, 3% error
Lab C: 20% de muestras, 5% error

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria tenga error?

Solución usando probabilidad total:

P(Error) = P(Error|A)·P(A) + P(Error|B)·P(B) + P(Error|C)·P(C)
P(Error) = (0.02)(0.50) + (0.03)(0.30) + (0.05)(0.20)
P(Error) = 0.010 + 0.009 + 0.010
P(Error) = 0.029 = 2.9%

Diagrama de Árbol

Representación Visual

           0.02 (Error)

   0.50 (Lab A) ─┤

           0.98 (Sin error)

           0.03 (Error)

   0.30 (Lab B) ─┤

           0.97 (Sin error)

           0.05 (Error)

   0.20 (Lab C) ─┤

           0.95 (Sin error)

ACTIVIDAD - PROBLEMAS

Momento 2: Resolución

✏️ Instrucciones

• Trabajen en equipos de 3-4 personas
• Tiempo total: 60 minutos
• Resuelvan todos los problemas mostrando procedimiento completo
• Preparen la presentación de sus soluciones

📋 Evaluación

Planteamiento correcto del problema
Procedimiento claro y justificado
Resultado numérico correcto
Interpretación en contexto clínico

PROBLEMA 1